Există doar „X” și doar axa abscisei, acum se adaugă „jocuri” și câmpul de activitate se extinde pe întregul plan de coordonate. Mai mult în text, sintagma „inegalitate liniară” este înțeleasă într-un sens bidimensional, care va deveni clar în câteva secunde.

Pe lângă geometria analitică, materialul este relevant pentru o serie de probleme de analiză matematică, modelare economică și matematică, de aceea recomand să studiez această prelegere cu toată seriozitatea.

Inegalități liniare

Există două tipuri de inegalități liniare:

1) Strict  inegalități :.

2) Lax  inegalități :.

Care este sensul geometric al acestor inegalități?  Dacă o ecuație liniară definește o linie dreaptă, atunci determină inegalitatea liniară semiplan.

Pentru a înțelege următoarele informații, trebuie să cunoașteți tipurile de linii din avion și să puteți construi linii. Dacă întâmpinați dificultăți în această parte, citiți ajutorul Graficele și proprietățile funcției   - paragraf despre o funcție liniară.

Începem cu cele mai simple inegalități liniare. Visul albastru al oricărui pierzător este un plan de coordonate pe care nu există nimic deloc:

   După cum știți, axa abscisă este dată de ecuație - „jocul” întotdeauna (pentru orice valoare a „x”) este zero

Luați în considerare inegalitatea. Cum să-l înțelegem informal? Un „jucător” este întotdeauna (pentru orice valoare de „X”) pozitiv. Evident, această inegalitate definește jumătatea plană superioară - la urma urmei, există toate punctele cu „jocuri” pozitive acolo.

În cazul în care inegalitatea nu este strictă, la jumătatea planului superior în plus  se adaugă axa în sine.

În mod similar: inegalitatea este satisfăcută de toate punctele jumătății inferioare de plan, inegalitatea non-strictă corespunde jumătății plane inferioare + axa.

Axa ordinală este aceeași poveste prozaică:

- inegalitatea definește jumătatea plană corectă;
   - inegalitatea definește jumătatea dreaptă, inclusiv axa ordonată;
   - inegalitatea definește jumătatea plană stângă;
   - inegalitatea definește jumătatea plană stângă, inclusiv axa ordonată.

În a doua etapă, considerăm inegalitățile în care una dintre variabile lipsește.

Nu există „joc”:

Sau nu există „X”:

Există două modalități de a face față acestor inegalități, vă rugăm să luați în considerare ambele abordări. Pe parcurs, amintiți-vă - vom consolida acțiunile școlare cu inegalități, deja examinate în lecție Zona de definire a funcției .

Exemplul 1

Rezolva inegalitățile liniare:

Ce înseamnă să rezolvi inegalitatea liniară?

Rezolvarea inegalității liniare înseamnă găsirea unui semiplanale cărui puncte satisfac această inegalitate (plus linia dreaptă în sine, dacă inegalitatea este non-strictă). Decizie, obișnuit, grafic.

Este mai convenabil să executați imediat desenul, apoi să comentați totul:

a) Rezolvăm inegalitatea

Prima cale

Metoda este foarte similară cu povestea cu axe de coordonate, pe care le-am examinat mai sus. Ideea este de a transforma inegalitatea - pentru a lăsa o variabilă fără constante pe partea stângă, în acest caz variabila „x”.

Regula: În inegalitate, termenii sunt transferați de la o parte la alta cu o schimbare de semn, în timp ce semnul celei mai inegalități nu se schimba  (de exemplu, dacă a existat un semn „mai puțin”, atunci va rămâne „mai puțin”).

Mutați „cinci” în partea dreaptă cu o schimbare de semn:

Regula POZITIV nu se schimba.

Acum desenați o linie dreaptă (linie punctată albastru). Linia este scăzută din cauza faptului că inegalitatea strict, iar punctele care aparțin acestei linii nu vor fi cu siguranță incluse în soluție.

Care este sensul inegalității? „X” este întotdeauna (pentru orice valoare a „jocului”) mai mic decât. Evident, toate punctele din jumătatea planului stâng satisfac această afirmație. Acest semi-plan, în principiu, poate fi umbrit, dar mă voi limita la mici săgeți albastre, pentru a nu transforma desenul într-o paletă artistică.

Al doilea mod

Acesta este un mod universal. CITEȘTE ȘI FĂRĂ ATENȚIE!

Mai întâi, desenați o linie dreaptă. Pentru claritate, apropo, este indicat să prezentați ecuația sub formă.

Acum selectați orice punct din avion, non-directă. În majoritatea cazurilor, bineînțeles. Înlocuim coordonatele acestui punct în inegalitate:

Primit inegalitate greșită  (în cuvinte simple, acest lucru nu poate fi), atunci ideea nu satisface inegalitatea.

Regula cheie a sarcinii noastre:
nu satisface  inegalitate atunci TOATE  puncte ale unui semiclan dat nu satisface  această inegalitate.
   - Dacă există vreun punct al unui semiclan (care nu aparține unei linii drepte) satisface  inegalitate atunci TOATE  puncte ale unui semiclan dat satisface  această inegalitate.

Puteți testa: orice punct din dreapta liniei nu va satisface inegalitatea.

Care este concluzia din experiența cu acest punct? Nicăieri să meargă, inegalitatea este satisfăcută de toate punctele celuilalt - jumătatea plană stângă (puteți verifica, de asemenea).

b) Rezolvăm inegalitatea

Prima cale

Transformăm inegalitatea:

Regula: Ambele părți ale inegalității pot fi înmulțite (împărțite) cu NEGATIVnumărul, în timp ce semnul inegalității SCHIMBAREspre opus (de exemplu, dacă a existat un semn „mai mare sau egal cu”, atunci va deveni „mai mic sau egal cu”).

Înmulțiți ambele părți ale inegalității cu:

Desenați o linie dreaptă (roșu) și trasați o linie solidă, deoarece avem inegalitate pierde, iar linia aparține evident soluției.

După analizarea inegalității obținute, concluzionăm că soluția sa este jumătatea inferioară a planului (+ linia dreaptă în sine).

Un semiplan adecvat este eclozat sau marcat cu săgeți.

Al doilea mod

Desenați o linie dreaptă. Alegem un punct arbitrar pe plan (care nu aparține liniei), de exemplu, și înlocuim coordonatele sale în inegalitatea noastră:

Primit adevărată inegalitate, atunci punctul satisface inegalitatea și, în general - TOATE punctele semiclanului inferior satisfac această inegalitate.

Aici punctul experimental, am „lovit” jumătatea plană dorită.

Soluția problemei este indicată de o linie roșie și săgeți roșii.

Personal, îmi place mai mult prima soluție, pentru că a doua este mai formală.

Exemplul 2

Rezolva inegalitățile liniare:

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă. Încercați să rezolvați problema în două moduri (apropo, aceasta este o modalitate bună de a verifica soluția). Răspunsul de la sfârșitul lecției va fi doar desenul final.

Cred că după toate acțiunile făcute în exemple, va trebui să le căsătoriți cu ele, nu va fi dificil să rezolvați cea mai simplă inegalitate de genul etc.

Revenim la considerarea celui de-al treilea caz general, când ambele variabile sunt prezente în inegalitate:

În mod alternativ, termenul gratuit „ce” poate fi zero.

Exemplul 3

Găsiți semi-planurile corespunzătoare următoarelor inegalități:

Decizie: Aici folosim o metodă de soluție universală cu înlocuirea punctelor.

a) Construim ecuația liniei și linia ar trebui să fie redusă, deoarece inegalitatea este strictă, iar linia în sine nu va intra în soluție.

Selectăm punctul experimental al planului care nu aparține unei linii date, de exemplu, și înlocuim coordonatele sale în inegalitatea noastră:

Primit inegalitate greșită, atunci punctul și TOATE punctele semiclanului dat nu satisfac inegalitatea. Soluția inegalității va fi o altă jumătate de plan, admiră fulgerul albastru:

b) Rezolvăm inegalitatea. În primul rând, construiți o linie. Este ușor de făcut, avem o proporționalitate canonică directă. Desenăm linia solid, deoarece inegalitatea nu este strictă.

Alegem un punct arbitrar pe planul care nu aparține liniei. Aș dori să folosesc din nou originea, dar, din păcate, acum nu este bine. Prin urmare, trebuie să lucrați cu o altă iubită. Este mai profitabil să iei un punct cu valori mici de coordonate, de exemplu. Înlocuim coordonatele sale în inegalitatea noastră:

Primit adevărată inegalitateprin urmare, punctul și toate punctele semiclanului dat satisfac inegalitatea. Semiplanul dorit este marcat cu săgeți roșii. În plus, soluția în sine include și cea directă.

Exemplul 4

Găsiți semi-planurile corespunzătoare inegalităților:

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă. O soluție completă, un eșantion aproximativ al proiectării finale și răspunsul la sfârșitul lecției.

Să analizăm problema inversă:

Exemplul 5

a) Se dă o linie dreaptă. Identifica semi-planul în care se află punctul, în timp ce linia dreaptă în sine trebuie inclusă în soluție.

b) Dată o linie dreaptă. Identifica semi-planul în care se află punctul. Linia directă în sine nu este inclusă în soluție.

Decizie: Nu este nevoie de un desen, iar soluția va fi analitică. Nimic dificil:

a) Compunem un polinom auxiliar   și calculați valoarea acestuia la punctul:
. Astfel, inegalitatea dorită va fi marcată cu un semn mai mic. În funcție de condiție, linia este inclusă în soluție, deci inegalitatea va fi non-strictă:

b) Compunem polinomul și calculăm valoarea acestuia la punctul:
. Astfel, inegalitatea dorită va fi cu semnul „mai mult”. Prin ipoteză, linia nu este inclusă în soluție, prin urmare, inegalitatea va fi strictă:.

Răspuns:

Exemplu creativ pentru auto-studiu:

Exemplul 6

Punctele sunt date și o linie. Printre punctele enumerate, găsiți cele care, împreună cu originea, se află pe o parte a liniei date.

Un mic indiciu: mai întâi trebuie să faceți o inegalitate care să definească jumătatea planului în care se află originea. Soluție analitică și răspuns la sfârșitul lecției.

Sisteme de inegalități liniare

După cum înțelegeți, un sistem de inegalități liniare este un sistem compus din mai multe inegalități. Lol, ei bine, am dat definiția \u003d) Ariciul este un arici, un cuțit este un cuțit. Dar adevărul este - s-a dovedit simplu și accesibil! Nu, în mod serios, nu vreau să dau câteva exemple într-un mod general, așa că vom trece imediat la probleme presante:

Ce înseamnă să rezolvi un sistem de inegalități liniare?

Rezolvați un sistem de inegalități liniare  - inseamna găsiți multe puncte ale avionuluicare satisfac pentru fiecare  inegalitatea sistemului

Ca exemple cele mai simple, considerăm sistemul de inegalități care determină sferturile de coordonate ale unui sistem de coordonate dreptunghiulare („desenul pierderilor” este la începutul lecției):

Sistemul de inegalități definește primul sfert de coordonate (dreapta sus). Coordonatele oricărui punct din primul trimestru, de exemplu,   etc. satisface pentru fiecare  inegalitatea acestui sistem.

în mod similar:
   - sistemul de inegalități definește al doilea sfert de coordonate (stânga sus);
   - sistemul de inegalități definește al treilea sfert de coordonate (stânga jos);
   - sistemul de inegalități definește al patrulea trimestru de coordonate (dreapta jos).

Este posibil ca un sistem de inegalități liniare să nu aibă soluțiiadică să fie incompatibil. Din nou cel mai simplu exemplu:. Este clar că „X” nu poate fi mai mult de trei și mai puțin de doi în același timp.

Soluția sistemului de inegalități poate fi una directă, de exemplu:. Lebada, cancerul, fără știuc, trageți căruciorul în două direcții diferite. Da, lucrurile sunt încă acolo - soluția acestui sistem este directă.

Dar cel mai des întâlnit caz în care soluția sistemului este o parte zona avionului. Zona de soluții  poate nu este limitat  (de exemplu, sferturi de coordonate) limitat. Zona de soluție limitată se numește soluții de sistem poligon.

Exemplul 7

Rezolvați un sistem de inegalități liniare

În practică, în majoritatea cazurilor, trebuie să faceți față inegalităților non-stricte, așa că ei vor dansa restul lecției.

Decizie: faptul că există prea multe inegalități nu ar trebui să sperie. Câte inegalități pot exista în sistem?  Da, orice număr. Principalul lucru este să respectați un algoritm rațional pentru construirea unui domeniu de soluții:

1) În primul rând, avem de-a face cu cele mai simple inegalități. Inegalitățile definesc primul trimestru de coordonate, inclusiv limita axelor de coordonate. Deja mult mai ușor, deoarece zona de căutare s-a redus semnificativ. În desen, marcăm imediat cu săgeți semiclanurile corespunzătoare (săgeți roșii și albastre)

2) Cea de-a doua simplă inegalitate - nu există „joc”. În primul rând, construim linia dreaptă în sine și, în al doilea rând, după transformarea inegalității într-o formă, devine imediat clar că toate „X-urile” sunt mai mici de 6. Marcăm semiclanul corespunzător cu săgeți verzi. Ei bine, zona de căutare a devenit și mai mică - un astfel de dreptunghi nu este limitat de sus.

3) La ultima etapă, rezolvăm inegalitatea „cu muniție completă”:. Algoritmul soluției pe care l-am examinat în detaliu în paragraful precedent. Pe scurt: mai întâi construim o linie dreaptă, apoi folosind punctul experimental găsim semi-planul de care avem nevoie.

Ridicați-vă, copii, stați în cerc:


   Zona de soluție a sistemului este un poligon, în desen, este înconjurat de o linie de zmeură și umbrit. Am depășit-o un pic \u003d) În caiet, este suficient să nuanțezi zona soluției sau să o încerci mai grasă cu un simplu creion.

Orice punct al unui poligon dat satisface FIECARE inegalitate a sistemului (puteți verifica interesul).

Răspuns: Soluția sistemului este un poligon.

Atunci când solicitați o curățenie, ar fi bine să descrieți în detaliu în ce puncte ați construit liniile (consultați lecția Graficele și proprietățile funcției ) și modul în care au fost determinate jumătățile de plan (a se vedea primul paragraf al acestei lecții). Cu toate acestea, în practică, în majoritatea cazurilor, veți fi creditat doar cu desenul potrivit. Calculele în sine pot fi făcute pe un draft sau chiar verbal.

Pe lângă poligonul de soluții de sistem, în practică, deși mai rar, este întâlnită o zonă deschisă. Încercați să analizați singur exemplul următor. Deși, din motive de acuratețe, nu există tortură aici - algoritmul de construcție este același, doar zona se va dovedi nelimitată.

Exemplul 8

Sistem de rezolvare

Decizie și răspuns la sfârșitul lecției. Cel mai probabil veți avea alte litere pentru vârfurile zonei rezultate. Nu contează, principalul lucru este să găsiți corect topurile și să construiți corect zona.

Nu este neobișnuit atunci când în sarcini este necesar nu numai pentru a construi regiunea de soluții ale sistemului, ci și pentru a găsi coordonatele vârfurilor regiunii. În cele două exemple anterioare, coordonatele acestor puncte erau evidente, dar, în practică, totul este departe de gheață:

Exemplul 9

Rezolvați sistemul și găsiți coordonatele vârfurilor zonei rezultate

Decizie: Să ilustrăm domeniul de soluții al acestui sistem în desen. Inegalitatea stabilește jumătatea plană stângă cu axa ordonată și aici nu există un freebie. După calculele pe proiectele / proiectul sau procesele de gândire profundă, obținem următoarea zonă de soluție:

În această lecție vom continua să luăm în considerare inegalitățile raționale și sistemele lor, și anume: un sistem de inegalități liniare și pătrate. Mai întâi, amintiți-vă ce este un sistem de două inegalități liniare cu o singură variabilă. În continuare, luăm în considerare sistemul de inegalități pătrate și metodologia de rezolvare a acestora folosind probleme specifice ca exemplu. Avem în vedere în detaliu așa-numita metodă de acoperiș. Vom analiza soluții tipice pentru sisteme și la sfârșitul lecției vom lua în considerare o soluție pentru un sistem cu inegalități liniare și pătrate.

2. Un complex electronic educațional și metodologic pentru pregătirea 10-11 clase pentru examenele de admitere în informatică, matematică și limba rusă ().

3. Centrul de învățământ „Tehnologia învățării” ().

4. Secțiunea College.ru în matematică ().

1. Mordkovici A.G. și alții.Algebra clasei a IX-a: Cartea problemelor pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina și alții - ediția a IV-a. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: Bolnav. Nr. 58 (a, c); 62; 63.

se numește orice combinație de două sau mai multe inegalități liniare care conțin aceeași cantitate necunoscută

Iată mostre de astfel de sisteme:

Intersecția a două raze este decizia noastră. Prin urmare, soluția acestei inegalități este totul xsituat între cele două și cele opt.

Răspuns: x

Utilizarea acestui tip de soluție de cartografiere pentru un sistem de inegalități este uneori denumită metoda acoperișului.

Definiție:  Intersecția a două seturi ȘI  și LA  numit al treilea set, care include toate elementele incluse în ȘI  si in LA. Acesta este sensul intersecției seturilor de natură arbitrară. Acum analizăm în detaliu seturi numerice, prin urmare, atunci când găsim inegalități liniare, astfel de seturi sunt raze - co-direcționate, contra-direcționate, etc.

Aflați despre real exemple  găsirea sistemelor liniare de inegalități, cum să se determine intersecția seturilor de soluții ale inegalităților individuale care fac parte din sistem.

Calculăm sistem de inegalități:

Așezăm două linii de forță una peste alta. În partea de sus, puneți valorile respective xcare îndeplinesc prima inegalitate x>7 , iar în partea de jos - care sunt soluția celei de-a doua inegalități x>10 Corelăm rezultatele liniilor numerice, aflăm că ambele inegalități vor fi satisfăcute x>10.

Răspuns: (10; + ∞).

Facem prin analogie cu primul eșantion. Pe o axă numerică dată, aplicați toate aceste valori xsub care există un prim inegalitatea sistemului, și pe a doua axa numerică, plasată sub prima, - toate acele valori xla care se satisface a doua inegalitate a sistemului. Legăm aceste două rezultate și stabilim că ambele inegalități vor păstra simultan toate valorile xsituat între 7 și 10, ținând cont de semne, obținem 7<x≤10

Răspuns: (7; 10].

Următoarele soluții sunt rezolvate în mod similar. sisteme de inegalitate.

Articolul dezvăluie tema inegalităților, identifică definițiile sistemelor și soluțiile acestora. Vor fi luate în considerare exemple frecvente de sisteme de soluționare a ecuațiilor în algebră la școală.

Definiția unui sistem de inegalități

Sistemele de inegalități sunt determinate de definițiile sistemelor de ecuații, ceea ce înseamnă că se acordă o atenție specială înregistrărilor și semnificației ecuației în sine.

Definiția 1

Sistemul inegalitățilorei numesc o înregistrare de ecuații unite printr-un ansamblu cu un set de soluții simultan pentru toate inegalitățile din sistem.

Următoarele sunt exemple de inegalități. Două inegalități sunt date: 2x - 3\u003e 0 și 5 - x ≥ 4x - 11. Este necesar să scrieți o ecuație sub alta, apoi să combinați folosind o paranteză cretă:

2x - 3\u003e 0, 5 - x ≥ 4x - 11

În același mod, definiția sistemelor de inegalitate este prezentată în manualele școlare atât pentru utilizarea unei variabile, cât și pentru două.

Principalele tipuri de inegalități

Are loc compilarea unui număr infinit de sisteme de inegalități. Acestea sunt clasificate în grupuri care diferă în anumite moduri. Inegalitățile sunt împărțite după criterii:

• numărul de inegalități ale sistemului;
• numărul de variabile de înregistrare;
• un fel de inegalități.

Numărul inegalităților primite poate fi de la două sau mai multe. În paragraful precedent, am considerat un exemplu de soluționare a unui sistem cu două inegalități.

2x - 3\u003e 0, 5 - x ≥ 4x - 11

Luați în considerare o soluție pentru un sistem cu patru inegalități.

x ≥ - 2, y ≤ 5, x + y + z ≥ 3, z ≤ 1 - x 2 - 4

Soluția inegalității nu vorbește separat despre soluția sistemului în ansamblu. Pentru a rezolva sistemul, este necesar să se utilizeze toate inegalitățile existente.

Astfel de sisteme de inegalități pot avea una, două, trei sau mai multe variabile. În ultimul sistem descris, acest lucru este clar vizibil, acolo avem trei variabile: x, y, z. Ecuațiile pot conține o variabilă, ca în exemplu, sau mai multe. Pe baza exemplelor, inegalitatea x + 0 · y + 0 · z ≥ - 2 și 0 · x + y + 0 · z ≤ 5 nu sunt considerate echivalente. Programele școlare acordă atenție rezolvării inegalităților cu o singură variabilă.

La înregistrarea unui sistem, pot fi implicate ecuații de diferite tipuri și cu un număr diferit de variabile. Cel mai adesea, inegalități întregi grade diferite. Pentru pregătirea examenelor pot fi găsite sisteme cu ecuații iraționale, logaritmice, exponențiale ale formei:

544 - 4 - x 32 - 2 - x ≥ 17, jurnal x 2 16 x + 20 16 ≤ 1

Un astfel de sistem include o ecuație exponențială și logaritmică.

Rezolvarea sistemului de inegalități

   Definiția 2

Luați în considerare un exemplu de rezolvare a sistemelor de ecuații cu o variabilă.

x\u003e 7, 2 - 3

Dacă valoarea x \u003d 8, atunci soluția sistemului este evidentă, deoarece 8\u003e 7 și 2 - 3 · 8 ≤ 0 sunt satisfăcute. Pentru x \u003d 1, sistemul nu poate fi rezolvat, deoarece prima inegalitate numerică în timpul substituției are 1\u003e 7. În același mod, se rezolvă un sistem cu două sau mai multe variabile.

Definiția 3

Soluția unui sistem de inegalități cu două sau mai multe variabiledenumiți valorile care reprezintă soluția tuturor inegalităților atunci când fiecare se transformă într-o adevărată inegalitate numerică.

Dacă x \u003d 1 și y \u003d 2 vor fi o soluție la inegalitatea x + y< 7 x - y < 0 , потому как выражения 1 + 2 < 7 и 1 − 2 < 0 верны. Если подставить числовую пару (3 , 5 , 3) , тогда система не даст значения переменных и неравенство будет неверным 3 , 5 − 3 < 0 .

Atunci când rezolvă un sistem de inegalități, acestea pot da un anumit număr de răspunsuri, dar pot fi și infinite. Aceasta înseamnă multe soluții pentru un astfel de sistem. În lipsa soluțiilor, se spune că are un set gol de soluții. Dacă o soluție are un anumit număr, atunci setul de soluții are un număr finit de elemente. Dacă există multe soluții, atunci setul de soluții conține un număr infinit de numere.

Unele manuale definesc o soluție particulară pentru un sistem de inegalități, care este înțeles ca o singură decizie. Și soluția generală a sistemului de inegalități este considerată de toate deciziile sale particulare. O astfel de definiție este rar folosită, așa că ei spun „rezolvarea unui sistem de inegalități”

Aceste definiții ale sistemelor de inegalități și soluții sunt considerate ca intersecții ale seturilor de soluții ale tuturor inegalităților sistemului. O atenție deosebită trebuie acordată secțiunii privind inegalitățile echivalente.

Dacă observați o eroare în text, selectați-l și apăsați Ctrl + Enter