Trigonometria, ca știință, își are originea în Orientul Antic. Primele relații trigonometrice au fost deduse de astronomi pentru a crea un calendar și o orientare exactă de către stele. Aceste calcule s-au referit la trigonometria sferică, în timp ce în cursul școlar studiază raportul de aspect și unghiul unui triunghi plat.

Trigonometria este o ramură a matematicii care se ocupă cu proprietățile funcțiilor trigonometrice și relația dintre laturile și unghiurile triunghiurilor.

În culmea culturii și științei din mileniul I d.C., cunoștințele s-au răspândit din Orientul Antic până în Grecia. Însă principalele descoperiri ale trigonometriei sunt meritul soților califatului arab. În special, omul de știință turc al-Marazvi a introdus funcții tangente și cotangente, a întocmit primele tabele de valori pentru păcate, tangențe și cotangenți. Conceptele de sine și cosinus sunt introduse de oamenii de știință indieni. Trigonometria este dedicată multă atenție în scrierile unor figuri atât de mari ale antichității precum Euclid, Arhimede și Eratostene.

Principalele valori ale trigonometriei

Principalele funcții trigonometrice ale unui argument numeric sunt sinusul, cosinusul, tangentul și cotangentul. Fiecare dintre ele are propriul său grafic: unda sinusoidală, unda cosinului, unda tangentă și unda cotangentă.

Formulele pentru calculul valorilor acestor cantități se bazează pe teorema pitagoreică. Pentru școlari, este mai bine cunoscut în formularea: „Pantalonii pitagorei sunt egali în toate direcțiile”, deoarece dovada este dată pe exemplul unui triunghi izoscel.

Sinele, cosinusul și alte dependențe stabilesc o legătură între unghiurile ascuțite și laturile oricărui triunghi drept. Dăm formule pentru calcularea acestor cantități pentru unghiul A și urmărim relația funcțiilor trigonometrice:

După cum puteți vedea, tg și ctg sunt funcții inverse. Dacă imaginăm piciorul a ca produsul păcatului A și ipotenuză c, iar piciorul b ca cos A * c, obținem următoarele formule pentru tangent și cotangent:

Cercul trigonometric

Grafic, raportul dintre valorile menționate poate fi reprezentat după cum urmează:

Cercul, în acest caz, reprezintă toate valorile posibile ale unghiului α - de la 0 ° la 360 °. După cum se poate observa din figură, fiecare funcție ia o valoare negativă sau pozitivă în funcție de mărimea unghiului. De exemplu, sin α va fi cu un semn „+” dacă α aparține sferturilor I și II ale unui cerc, adică este cuprins între 0 și 180 °. La α de la 180 ° la 360 ° (sferturile III și IV) sin α poate fi doar o valoare negativă.

Să încercăm să construim tabele trigonometrice pentru unghiuri specifice și să aflăm semnificația valorilor.

Valorile α egale cu 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 180 ° și așa mai departe se numesc cazuri speciale. Valorile funcțiilor trigonometrice pentru acestea sunt calculate și prezentate sub formă de tabele speciale.

Aceste unghiuri nu au fost alese întâmplător. Desemnarea π din tabele înseamnă pentru radieni. Rad este unghiul la care lungimea arcului unui cerc corespunde razei sale. Această valoare a fost introdusă pentru a stabili o dependență universală; în calculele pe radieni, lungimea razei reale în cm nu contează.

Unghiurile din tabele pentru funcțiile trigonometrice corespund valorilor radianilor:

Deci, nu este dificil de ghicit că 2π este un cerc complet sau 360 °.

Proprietățile funcțiilor trigonometrice: sinus și cosinus

Pentru a lua în considerare și a compara proprietățile de bază ale sinusului și cosinusului, tangentului și cotangentului, este necesar să-și atragă funcțiile. Aceasta se poate realiza sub forma unei curbe situate într-un sistem de coordonate bidimensional.

Luați în considerare un tabel de comparație a proprietăților pentru o undă sinusoidală și o undă cosinusă:

Valul sinusoidal	Valul cosinus
y \u003d sin x	y \u003d cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x \u003d 0, pentru x \u003d πk, unde k ϵ Z	cos x \u003d 0, pentru x \u003d π / 2 + πk, unde k ϵ Z
sin x \u003d 1, pentru x \u003d π / 2 + 2πk, unde k ϵ Z	cos x \u003d 1, pentru x \u003d 2πk, unde k ϵ Z
sin x \u003d - 1, pentru x \u003d 3π / 2 + 2πk, unde k ϵ Z	cos x \u003d - 1, pentru x \u003d π + 2πk, unde k ϵ Z
sin (-x) \u003d - sin x, adică funcția este ciudată	cos (-x) \u003d cos x, adică funcția este uniformă
	funcție periodică, cea mai scurtă perioadă - 2π
sin x\u003e 0, pentru x aparținând sferturilor I și II sau de la 0 ° la 180 ° (2πk, π + 2πk)	cos x\u003e 0, pentru x aparținând sferturilor I și IV sau de la 270 ° la 90 ° (- π / 2 + 2πk, π / 2 + 2πk)
sin x ‹0, pentru x aparținând sferturilor III și IV sau de la 180 ° la 360 ° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹0, pentru x aparținând sferturilor II și III sau de la 90 ° la 270 ° (π / 2 + 2πk, 3π / 2 + 2πk)
crește intervalul [- π / 2 + 2πk, π / 2 + 2πk]	crește în intervalul [-π + 2πk, 2πk]
scade la intervale [π / 2 + 2πk, 3π / 2 + 2πk]	scade la intervale
derivat (sin x) ”\u003d cos x	derivat (cos x) ”\u003d - sin x

Determinarea dacă o funcție este uniformă sau nu este foarte simplă. Este suficient să ne imaginăm un cerc trigonometric cu semne de cantități trigonometrice și să „pliem” mental graficul în raport cu axa OX. Dacă semnele se potrivesc, funcția este egală; în caz contrar, este ciudată.

Introducerea radianilor și o listare a proprietăților de bază ale undei sinusoidale și ale undei cosinus conduc la următorul model:

Verificarea corectitudinii formulei este foarte simplă. De exemplu, pentru x \u003d π / 2, sinusul este 1, precum și cosinusul x \u003d 0. Verificarea se poate face prin examinarea tabelelor sau prin respectarea curbelor funcțiilor pentru valorile date.

Proprietățile tangentoidelor și cotangentoizilor

Graficele funcțiilor tangente și cotangente sunt semnificativ diferite de sinus și cosinus. Valorile tg și ctg sunt invers una față de cealaltă.

1. Y \u003d tg x.
2. Tangentidul tinde să y valori la x \u003d π / 2 + πk, dar niciodată nu le atinge.
3. Cea mai mică perioadă pozitivă a unui tangentoid este π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, adică funcția este ciudată.
5. Tg x \u003d 0, pentru x \u003d πk.
6. Funcția este în creștere.
7. Tg x\u003e 0, pentru x ϵ (πk, π / 2 + πk).
8. Tg x ‹0, pentru x ϵ (- π / 2 + πk, πk).
9. Derivat (tg x) ”\u003d 1 / cos 2 \u2061x.

Ia în considerare imaginea grafică a cotangensoidelor de mai jos.

Principalele proprietăți ale cotangentoizilor:

1. Y \u003d ctg x.
2. Spre deosebire de funcțiile sinusului și cosinusului, în tangentoidul Y pot lua valori ale mulțimii tuturor numerelor reale.
3. Un cotangentoid tinde să y valori la x \u003d πk, dar niciodată nu le atinge.
4. Cea mai mică perioadă pozitivă de cotangentoizi este π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, adică funcția este impară.
6. Ctg x \u003d 0, pentru x \u003d π / 2 + πk.
7. Funcția este în scădere.
8. Ctg x\u003e 0, pentru x ϵ (πk, π / 2 + πk).
9. Ctg x ‹0, pentru x ϵ (π / 2 + πk, πk).
10. Derivat (ctg x) ”\u003d - 1 / sin 2 Fixx Fix

Tip de lecție:   sistematizarea cunoștințelor și controlul intermediar.

Echipament:   cerc trigonometric, teste, cărți cu sarcini.

Obiectivele lecției:   sistematizarea materialului teoretic studiat conform definițiilor sinusului, cosinului, tangentei unui unghi; verificați gradul de asimilare a cunoștințelor pe acest subiect și aplicarea acesteia în practică.

obiective:

• Pentru a generaliza și consolida conceptele de sine, cosinus și tangentă ale unui unghi.
• Pentru a forma o idee complexă a funcțiilor trigonometrice.
• Să contribuie la dezvoltarea dorințelor și nevoilor elevilor pentru studiul materialului trigonometric; favorizează o cultură a comunicării, capacitatea de a lucra în grup și nevoia de autoeducare.

„Cel care face și gândește de la o vârstă fragedă, el
   devine mai târziu, mai fiabil, mai puternic, mai inteligent.

(V. Shukshin)

LUCRĂ DE LECȚIE

I. Moment organizațional

Clasa este reprezentată de trei grupuri. Fiecare grup are un consultant.
   Profesorul comunică subiectul, obiectivele și obiectivele lecției.

II. Actualizarea cunoștințelor (munca frontală cu clasa)

1) Lucrați în grup pentru sarcini:

1. Formulați definiția unghiului păcatului.

- Ce semne are păcatul α în fiecare sfert de coordonate?
   - La ce valori are expresia sin α și ce valori poate avea?

2. Al doilea grup sunt aceleași întrebări pentru cos α.

3. Al treilea grup pregătește răspunsuri la aceleași întrebări tg α și ctg α.

În acest moment, trei studenți lucrează independent la tablă cu cărți (reprezentanți ai grupurilor diferite).

Numărul cardului 1.

Munca practică.
   Folosind cercul unității, calculați pentru unghiul 50, 210 și - 210 valorile sin α, cos α și bronzate α.

Numărul cardului 2.

Definiți semnul expresiei: tg 275; cos 370; păcat 790; tg 4.1 și păcatul 2.

Numărul cardului 3.

1) Calculați:
  2) Comparați: cos 60 și cos 2 30 - sin 2 30

2) oral:

a) Sunt propuse o serie de numere: 1; 1.2; 3; , 0 ,, - 1. Printre ele sunt de prisos. Ce proprietate pot exprima aceste numere sin α sau cos α (Poate păcatul α sau cos α lua aceste valori).
   b) Are sens expresia: cos (-); păcat 2; tg 3: ctg (- 5); ; ctg0;
   ctg (- π). De ce?
   c) Există cea mai mică și cea mai mare valoare a păcatului sau cosului, tg, ctg.
   d) Este adevărat?
   1) α \u003d 1000 este unghiul celui de-al doilea trimestru;
   2) α \u003d - 330 este unghiul celui de-al patrulea trimestru.
   d) Numerele corespund aceluiași punct din cercul unității.

3) Lucrați la consiliu

Nr. 567 (2; 4) - Găsiți sensul unei expresii
   Nr. 583 (1-3) Identificați semnul expresiei

Tema:masă într-un caiet. Nr. 567 (1, 3) Nr. 578

III. Stăpânirea cunoștințelor suplimentare. Trigonometrie în palma

profesor:   Se dovedește că valorile sinilor și cosinusurilor unghiurilor „sunt” în palma ta. Extindeți mâna (oricare) și întindeți degetele cât mai mult posibil (ca pe afiș). Un elev este invitat. Ne măsurăm unghiurile dintre degete.
   Se ia un triunghi, unde există un unghi de 30, 45 și 60 90 și aplicăm partea superioară a colțului pe cuspida lunii în palma mâinii noastre. Culmea lunii se află la intersecția extensiilor degetului mic și a degetului mare. Combinați o parte cu degetul mic, iar cealaltă parte cu unul dintre celelalte degete.
   Se pare că între degetul mic și degetul mare unghiul este de 90, între degetul mic și degetul inelar - 30, între degetul mic și cel mijlociu - 45, între degetul mic și degetul arătător - 60. Și acest lucru este pentru toți oamenii fără excepție.

numărul deget mic 0 - corespunde cu 0,
   numărul fără nume 1 - corespunde la 30,
   numărul mediu 2 - corespunde la 45,
   numărul de index 3 - corespunde la 60,
număr mare 4 - corespunde 90.

Astfel, avem 4 degete pe mână și ne amintim formula:

Numărul degetului	unghi	valoare

Aceasta este doar o regulă mnemonică. În general, valoarea păcatului α sau cos α trebuie cunoscută de inimă, dar uneori această regulă va ajuta în momentele dificile.
   Vino cu o regulă pentru cos (colțurile sunt neschimbate, dar numărătoarea inversă de la degetul mare). O pauză fizică asociată semnelor păcatului α sau cos α.

IV. Verificarea măiestriei ZUN

Muncă independentă cu feedback

Fiecare student primește un test (4 opțiuni), iar foaia de răspuns este aceeași pentru toți.

test

Opțiunea 1

1) În ce unghi de rotație, raza va ocupa aceeași poziție ca la trecerea printr-un unghi de 50.
   2) Găsiți sensul expresiei: 4cos 60 - 3sin 90.
   3) Care dintre numere este mai mic decât zero: sin 140, cos 140, sin 50, tg 50.

Opțiunea 2

1) În ce unghi de rotație, raza va ocupa aceeași poziție ca la întoarcerea unui unghi de 10.
   2) Găsiți valoarea expresiei: 4cos 90 - 6sin 30.
   3) Care dintre numere este mai mare decât zero: sin 340, cos 340, sin 240, tg (- 240).

Opțiunea 3

1) Găsiți sensul expresiei: 2ctg 45 - 3cos 90.
   2) Care dintre numere este mai mic decât zero: sin 40, cos (- 10), tg 210, sin 140.
   3) Ce unghi de sfert este unghiul α dacă sin α\u003e 0, cos α< 0.

Opțiunea 4

1) Găsiți valoarea expresiei: tg 60 - 6ctg 90.
   2) Care dintre numere este mai mic decât zero: păcat (- 10), cos 140, tg 250, cos 250.
   3) Ce unghi de sfert este unghiul α dacă ctg α< 0, cos α> 0.

A 0	B Sin50	1	D – 350	D – 1	E Cos(– 140)
F 3	W 310	și Cos 140		L 350	M 2
H Cos 340	oh – 3	P Cos 250	P	C Sin 140	T – 310
în – 2	F 2	X Tg 50	W Tg 250	Yoo Sin 340	Eu sunt 4

(cuvântul este trigonometria cheie)

V. Informații din istoria trigonometriei

profesor:   Trigonometria este o ramură destul de importantă a matematicii pentru viața umană. Matematicianul principal al secolului al XVIII-lea, Leonard Euler, a dat forma modernă a trigonometriei - un elvețian de origine, care a lucrat mulți ani în Rusia și a fost membru al Academiei de Științe din Sankt Petersburg. El a introdus definițiile bine cunoscute ale funcțiilor trigonometrice, a formulat și a dovedit formulele cunoscute, le vom studia mai târziu. Viața lui Euler este foarte interesantă și vă sfătuiesc să o cunoașteți din cartea „Leonard Euler” a lui Yakovlev.

(Mesaje tip pe acest subiect)

VI. Rezumatul lecției

Joc "Tic Tac Toe"

Participă doi studenți dintre cei mai activi. Sunt susținute de grupuri. Soluția sarcinilor este înregistrată într-un caiet.

misiuni

1) Găsiți eroarea

a) păcat 225 \u003d - 1,1 c) păcat 115< О
   b) cos 1000 \u003d 2 g) cos (- 115)\u003e 0

2) Exprimați unghiul în grade
   3) Exprimați în radiani un unghi de 300
   4) Care este cea mai mare și cea mai mică valoare pe care o poate avea expresia: 1+ sin α;
5) Definiți semnul expresiei: sin 260, cos 300.
   6) În care sfert din cercul numeric este punctul
   7) Definiți semnele expresiei: cos 0,3π, sin 195, ctg 1, tg 390
   8) Calculați:
   9) Comparați: păcatul 2 și păcatul 350

VII. Reflecția lecției

profesor:   Unde putem întâlni trigonometria?
  La ce lecții din clasa a IX-a și chiar acum aplicați conceptele de păcat α, cos α; tg α; ctg α și în ce scop?

Confidențialitatea dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dvs. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și anunțați-ne dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi utilizate pentru a identifica o anumită persoană sau pentru a o contacta.

Vi se poate solicita să furnizați informațiile dvs. personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când lăsați o solicitare pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dvs. personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să raportăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dvs. personale pentru a trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem utiliza informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea unui audit, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o remiză de premii, concurs sau eveniment promoțional similar, putem folosi informațiile pe care le furnizați pentru a gestiona astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dvs. către terți.

excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, sistemul judiciar, în procedurile judiciare și / sau pe baza anchetelor publice sau a anchetelor de la autoritățile statului de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile dvs. personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dvs. dacă stabilim că o asemenea divulgare este necesară sau adecvată în scopuri de securitate, menținerea legii și a ordinii sau alte cazuri importante din punct de vedere social.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către terța parte corespunzătoare, destinatarul.

Protecția informațiilor personale

Ne luăm măsuri de precauție - inclusiv cele administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și a utilizării neloiale, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectă-ți confidențialitatea la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dvs. personale sunt sigure, comunicăm regulile de confidențialitate și securitate angajaților noștri și monitorizăm strict implementarea măsurilor de confidențialitate.

Semnul funcției trigonometrice depinde exclusiv de sfertul de coordonate în care se află argumentul numeric. Ultima dată, am învățat să traducem argumente de la o măsură radiană la un grad (vezi lecția „Radian și măsura gradului unui unghi”), și apoi să determinăm acest sfert de coordonate. Acum să ne ocupăm de definiția semnului de sine, cosinus și tangent.

Sinusul unghiului α este ordonata (coordonata y) a punctului de pe cercul trigonometric, care apare atunci când raza este rotită prin unghiul α.

Cosinusul unghiului α este abscisa (coordonata x) a punctului de pe cercul trigonometric, care apare atunci când raza este rotită prin unghiul α.

Tangenta unghiului α este raportul dintre sinus și cosinus. Sau, echivalent, raportul dintre coordonata y și coordonata x.

Desemnare: sin α \u003d y; cos α \u003d x; bronzat α \u003d y: x.

Toate aceste definiții vă sunt familiare din cursul algebrei liceului. Cu toate acestea, nu ne interesează definițiile în sine, ci consecințele care apar pe un cerc trigonometric. Uită-te:

Albastrul indică direcția pozitivă a axei OY (axa ordonată), roșul indică direcția pozitivă a axei OX (axa abscisă). Pe acest „radar”, semnele funcțiilor trigonometrice devin evidente. În special:

1. sin α\u003e 0 dacă unghiul α se află în sfertul de coordonate I sau II. Acest lucru se datorează faptului că, prin definiție, sinusul este ordonata (coordonata y). Și coordonata y va fi pozitivă exact în sferturile de coordonate I și II;
2. cos α\u003e 0 dacă unghiul α se află în sfertul de coordonate I sau IV. Deoarece numai acolo coordonata x (care este și abscisa) va fi mai mare decât zero;
3. tan α\u003e 0 dacă unghiul α se află în sfertul de coordonate I sau III. Aceasta rezultă din definiția: până la urmă, tan α \u003d y: x, de aceea este pozitivă numai atunci când semnele x și y coincid. Aceasta se produce în sfertul de coordonate I (aici x\u003e 0, y\u003e 0) și în sfertul de coordonate III (x< 0, y < 0).

Pentru claritate, notăm semnele fiecărei funcții trigonometrice - sine, cosinus și tangent - pe „radare” separate. Obținem următoarea imagine:

Notă: în raționamentul meu nu am vorbit niciodată despre a patra funcție trigonometrică - cotangent. Cert este că semnele cotangentului coincid cu semnele tangentei - nu există reguli speciale acolo.

Acum îmi propun să ia în considerare exemple similare cu problemele B11 din examenul de matematică din 27 septembrie 2011. La urma urmei, cea mai bună metodă de a înțelege teoria este prin practică. De dorit - multă practică. Desigur, condițiile sarcinilor au fost ușor modificate.

Sarcină. Definiți semnele funcțiilor și expresiilor trigonometrice (valorile funcțiilor ele însele nu trebuie luate în considerare):

1. păcat (3π / 4);
2. cos (7π / 6);
3. tg (5π / 3);
4. păcat (3π / 4) cos (5π / 6);
5. cos (2π / 3) tg (π / 4);
6. păcat (5π / 6) cos (7π / 4);
7. tg (3π / 4) cos (5π / 3);
8. ctg (4π / 3) tg (π / 6).

Planul de acțiune este acesta: mai întâi transferăm toate unghiurile de la măsura radiană la gradul (π → 180 °) și apoi privim în ce sfert de coordonate se află numărul rezultat. Cunoscând sferturile, putem găsi cu ușurință semnele - conform regulilor tocmai descrise. Avem:

1. sin (3π / 4) \u003d sin (3 · 180 ° / 4) \u003d sin 135 °. De la 135 ° ∈, acesta este unghiul din al doilea sfert de coordonate. Sinusa în sfertul II este pozitivă, deci păcatul (3π / 4)\u003e 0;
2. cos (7π / 6) \u003d cos (7 · 180 ° / 6) \u003d cos 210 °. pentru că 210 ° ∈, acesta este unghiul față de al treilea sfert de coordonate, în care toate cosinele sunt negative. Prin urmare, cos (7π / 6)< 0;
3. tg (5π / 3) \u003d tg (5 · 180 ° / 3) \u003d tg 300 °. De la 300 ° ∈, ne aflăm în al patrulea trimestru, unde tangenta ia valori negative. Prin urmare, tg (5π / 3)< 0;
4. sin (3π / 4) · cos (5π / 6) \u003d sin (3 · 180 ° / 4) · cos (5 · 180 ° / 6) \u003d sin 135 ° · cos 150 °. Ne vom ocupa de sinus: 135 ° ∈, acesta este trimestrul II în care sinusurile sunt pozitive, adică. păcat (3π / 4)\u003e 0. Acum lucrăm cu cosinus: 150 ° ∈ - din nou trimestrul II, cosinele sunt negative acolo. Prin urmare, cos (5π / 6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2π / 3) · tg (π / 4) \u003d cos (2 · 180 ° / 3) · tg (180 ° / 4) \u003d cos 120 ° · tg 45 °. Ne uităm la cosinus: 120 ° ∈ este al doilea sfert de coordonate, deci cos (2π / 3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >   0. Am obținut din nou un produs în care factorii diferitelor semne. Întrucât „minus plus dă minus”, avem: cos (2π / 3) · tg (π / 4)< 0;
6. sin (5π / 6) cos (7π / 4) \u003d sin (5 180 ° / 6) cos (7 180 ° / 4) \u003d sin 150 ° cos 315 °. Lucrăm cu sinusul: începând cu 150 ° ∈, vorbim despre al doilea trimestru de coordonate, unde sinusurile sunt pozitive. Prin urmare, păcatul (5π / 6)\u003e 0. În mod similar, 315 ° ∈ - acesta este sfertul de coordonate IV, cosinele de acolo sunt pozitive. Prin urmare, cos (7π / 4)\u003e 0. Obținem produsul a două numere pozitive - o astfel de expresie este întotdeauna pozitivă. Concluzionăm: păcat (5π / 6) cos (7π / 4)\u003e 0;
7. tg (3π / 4) · cos (5π / 3) \u003d tg (3 · 180 ° / 4) · cos (5 · 180 ° / 3) \u003d tg 135 ° · cos 300 °. Dar unghiul de 135 ° ∈ este al doilea trimestru, adică. tg (3π / 4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >   0. Întrucât „minus plusul dă semnul minus”, avem: tg (3π / 4) · cos (5π / 3)< 0;
8. ctg (4π / 3) · tg (π / 6) \u003d ctg (4 · 180 ° / 3) · tg (180 ° / 6) \u003d ctg 240 ° · tg 30 °. Analizăm argumentul cotangent: 240 ° ∈ este sfertul de coordonate III, de aceea ctg (4π / 3)\u003e 0. În mod similar, pentru tangenta pe care o avem: 30 ° ∈ este sfertul de coordonate I, adică. cel mai ușor unghi. Prin urmare, tg (π / 6)\u003e 0. Din nou, au fost obținute două expresii pozitive - produsul lor va fi și pozitiv. Prin urmare, ctg (4π / 3) tg (π / 6)\u003e 0.

În concluzie, luați în considerare câteva sarcini mai complexe. Pe lângă elucidarea semnului funcției trigonometrice, va fi necesar să se calculeze un pic aici - exact așa cum se face în problemele actuale ale B11. În principiu, acestea sunt sarcini aproape reale care sunt într-adevăr întâlnite la examenul de matematică.

Sarcină. Găsiți sin α dacă sin 2 α \u003d 0,64 și α ∈ [π / 2; π].

Deoarece sin 2 α \u003d 0,64, avem: sin α \u003d ± 0,8. Rămâne să decidem: plus sau minus? Prin ipoteză, unghiul α ∈ [π / 2; π] este trimestrul de coordonate II, unde toate sinele sunt pozitive. Prin urmare, sin α \u003d 0,8 - incertitudinea cu semne este eliminată.

Sarcină. Găsiți cos α dacă cos 2 α \u003d 0,04 și α ∈ [π; 3π / 2].

Acționăm în mod similar, adică extragem rădăcina pătrată: cos 2 α \u003d 0,04 ⇒ cos α \u003d ± 0,2. Prin ipoteză, unghiul α ∈ [π; 3π / 2], adică este vorba despre al treilea trimestru de coordonate. Toate cosinusele sunt negative, deci cos α \u003d −0.2.

Sarcină. Găsiți sin α dacă sin 2 α \u003d 0,25 și α ∈.

Avem: sin 2 α \u003d 0,25 ⇒ sin α \u003d ± 0,5. Ne uităm din nou la unghiul: α ∈ este al patrulea sfert de coordonate, în care, după cum știți, sinusul va fi negativ. Astfel, concluzionăm: sin α \u003d −0,5.

Sarcină. Găsiți bronzul α dacă tan 2 α \u003d 9 și α ∈.

La fel, numai pentru tangent. Extragem rădăcina pătrată: tg 2 α \u003d 9 ⇒ tg α \u003d ± 3. Dar prin presupunere, unghiul α ∈ este sfertul de coordonate I. Toate funcțiile trigonometrice, inclusiv tangent, sunt pozitive, de aceea bronzul α \u003d 3. Asta e!

Sunt diverse. Unele dintre ele sunt în ce sferturi cosinusul este pozitiv și negativ, în care sferturile sinusul sunt pozitive și negative. Totul se dovedește a fi simplu dacă știi să calculezi valoarea acestor funcții în unghiuri diferite și ești familiarizat cu principiul construirii funcțiilor pe un grafic.

Care sunt valorile cosinusului

Dacă avem în vedere atunci avem următorul raport de aspect, care îl determină: cosinusul unghiului și   este raportul dintre piciorul adiacent al aeronavei cu ipotenuză AB (Fig. 1): cos o   \u003d BC / AB.

Folosind același triunghi, puteți găsi sinusul unghiului, tangent și cotangent. Sinusul este raportul dintre opusul unghiului laturii AC și ipotenuză AB. Tangenta unui unghi se găsește dacă sinusa unghiului dorit este împărțită de cosinusul aceluiași unghi; substituind formulele corespunzătoare pentru găsirea sinusului și cosinului, obținem că tg o   \u003d AC / BC. Cotangentul, ca funcție inversă tangentei, va fi astfel: ctg o   \u003d BC / AC.

Adică, cu aceleași valori ale unghiului, s-a constatat că într-un triunghi drept raportul de aspect este întotdeauna același. S-ar părea că a devenit clar de unde provin aceste valori, dar de ce provin numerele negative?

Pentru a face acest lucru, luați în considerare triunghiul din sistemul de coordonate carteziene, unde există atât valori pozitive, cât și negative.

În mod clar despre cartiere, unde

Care sunt coordonatele carteziene? Dacă vorbim despre spațiul bidimensional, avem două linii direcționate care se intersectează în punctul O - aceasta este axa abscisă (Ox) și axa ordonată (Oy). Din punctul O în direcția liniei sunt numere pozitive, iar în sens invers, numere negative. În cele din urmă, depinde direct de acest lucru în care sferturile cosinusului sunt pozitive și, în consecință, negative.

Primul trimestru

Dacă așezați un triunghi drept în primul sfert (de la 0 ° la 90 °), unde axa x și y au valori pozitive (segmentele AO și BO se află pe axele în care valorile au un semn +), atunci există o sinusă, adică un cosinus, de asemenea vor avea valori pozitive și li se atribuie o valoare cu un semn plus. Dar ce se întâmplă dacă mutați triunghiul în al doilea sfert (de la 90 la 180 aproximativ)?

Al doilea trimestru

Vedem că de-a lungul axei y, cateterul AO a primit o valoare negativă. Cosinusul unghiului o   acum are o corelație a acestei laturi cu un minus și, prin urmare, valoarea sa finală devine negativă. Se dovedește că sfertul în care cosinusul este pozitiv depinde de locația triunghiului în sistemul de coordonate carteziene. Și în acest caz, cosinusul unghiului capătă o valoare negativă. Dar pentru sine, nimic nu s-a schimbat, deoarece pentru a-i determina semnul este nevoie de partea OM, care a rămas în acest caz cu un semn plus. Pentru a rezuma primele două trimestre.

Pentru a afla în ce sferturi cosinusul este pozitiv și în care este negativ (precum și sinusul și alte funcții trigonometrice), este necesar să privim ce semn este atribuit unui picior sau altui picior. Pentru cosinusul unui unghi o   cateterul AO este important, pentru sinus - OB.

Primul trimestru a devenit până acum singurul care răspunde la întrebarea: „În ce sferturi este sinusul și cosinusul pozitive simultan?” Vom vedea în continuare dacă vor mai exista coincidențe în semnul acestor două funcții.

În al doilea trimestru, catetul AO a început să aibă o valoare negativă, ceea ce înseamnă că cosinusul a devenit și el negativ. O valoare pozitivă este stocată pentru sinus.

Al treilea trimestru

Acum ambele picioare AO și OB au devenit negative. Reamintim relațiile pentru cosinus și sine:

Cos a \u003d AO / AB;

Sin a \u003d BO / AB.

AB are întotdeauna un semn pozitiv în acest sistem de coordonate, deoarece nu este direcționat către niciuna dintre cele două părți definite de axe. Însă picioarele au devenit negative și, prin urmare, rezultatul pentru ambele funcții este, de asemenea, negativ, deoarece dacă efectuați operații de înmulțire sau divizare cu numere, dintre care una și doar una are un semn minus, atunci rezultatul va fi familiarizat cu acesta.

Rezultatul în această etapă:

1) În ce sfert este cosinusul pozitiv? În primul dintre trei.

2) În ce sfert este sinusul pozitiv? În prima și a doua dintre trei.

Al patrulea trimestru (de la 270 la 360 aproximativ)

Aici, catetul AO dobândește din nou semnul plus, și de aici și cosinusul.

Pentru sinus, lucrurile sunt încă „negative”, deoarece cateterul OM a rămas sub punctul de plecare O.

constatări

Pentru a înțelege în ce sferturi cosinusul este pozitiv, negativ etc., trebuie să vă amintiți raportul pentru calculul cosinului: piciorul adiacent colțului împărțit de hipotenuză. Unii profesori sugerează amintirea acestui mod: k (osină) \u003d (k) unghi. Dacă vă amintiți această „înșelăciune”, atunci înțelegeți automat că sinusul este raportul dintre opusul și partea laterală a piciorului față de hipotenuză.

A aminti în ce sferturi cosinusul este pozitiv și în care negativul este destul de dificil. Există multe funcții trigonometrice și toate au propriile lor semnificații. Cu toate acestea, ca rezultat: valori pozitive pentru sinus - 1, 2 sferturi (de la 0 aproximativ la 180 aproximativ); pentru cosinuri de 1, 4 sferturi (de la 0 aproximativ la 90 aproximativ și de la 270 aproximativ la 360 aproximativ). În trimestrele rămase, funcțiile au valori minus.

Poate că va fi mai ușor pentru cineva să-și amintească unde este semnul, în funcție de imaginea funcției.

Pentru sinus, se vede că de la 0 la 180 ° creasta este situată deasupra liniei valorilor păcatului (x), ceea ce înseamnă că funcția este pozitivă aici. Pentru cosinus este la fel: în ce sfert cosinusul este pozitiv (foto 7) și în care negativ este vizibil prin mișcarea liniei de deasupra și de sub axa cos (x). Drept urmare, putem aminti două moduri de a determina semnul funcțiilor sine, cosinus:

1. Într-un cerc imaginar cu o rază egală cu unul (deși, de fapt, nu contează ce rază are cercul, manualele de cele mai multe ori dau doar un astfel de exemplu; acest lucru facilitează percepția, dar, în același timp, dacă nu faceți o rezervare ca aceasta nu este important, copiii se pot confunda).

2. Conform imaginii dependenței funcției din (x) de argumentul x însuși, ca în ultima figură.

Folosind prima metodă, puteți ÎNȚEȘI de ce depinde semnul și am explicat acest lucru în detaliu mai sus. Figura 7, construită pe baza acestor date, vizualizează cât mai bine funcția obținută și semnul acestora aparținând.