În iulie 2020, NASA lansează o expediție pe Marte. Nava spațială va livra pe Marte un transportator electronic cu numele tuturor membrilor înregistrați ai expediției.

Dacă această postare ți-a rezolvat problema sau pur și simplu ți-a plăcut, distribuie linkul către ea prietenilor tăi de pe rețelele sociale.

Una dintre aceste opțiuni de cod trebuie să fie copiată și lipită în codul paginii dvs. web, de preferință între etichete Și sau imediat după etichetă . Conform primei opțiuni, MathJax se încarcă mai repede și încetinește pagina mai puțin. Dar a doua opțiune urmărește și încarcă automat cele mai recente versiuni de MathJax. Dacă introduceți primul cod, atunci acesta va trebui actualizat periodic. Dacă lipiți al doilea cod, atunci paginile se vor încărca mai lent, dar nu va trebui să monitorizați în mod constant actualizările MathJax.

Cel mai simplu mod de a conecta MathJax este în Blogger sau WordPress: în panoul de control al site-ului, adăugați un widget conceput pentru a insera cod JavaScript de la terți, copiați prima sau a doua versiune a codului de încărcare prezentat mai sus în el și plasați widgetul mai aproape la începutul șablonului (apropo, acest lucru nu este deloc necesar, deoarece scriptul MathJax este încărcat asincron). Asta e tot. Acum aflați sintaxa de marcare MathML, LaTeX și ASCIIMathML și sunteți gata să încorporați formule matematice în paginile dvs. web.

Un alt Revelion... vreme geroasă și fulgi de zăpadă pe geamul ferestrei... Toate acestea m-au determinat să scriu din nou despre... fractali și despre ce știe Wolfram Alpha despre asta. Cu această ocazie, există un articol interesant în care există exemple de structuri fractale bidimensionale. Aici vom lua în considerare exemple mai complexe de fractali tridimensionali.

Un fractal poate fi reprezentat vizual (descris) ca o figură geometrică sau un corp (însemnând că ambele sunt o mulțime, în acest caz, un set de puncte), ale căror detalii au aceeași formă ca figura originală în sine. Adică, este o structură auto-similară, având în vedere detaliile căreia, atunci când este mărită, vom vedea aceeași formă ca și fără mărire. În timp ce în cazul unei figuri geometrice obișnuite (nu un fractal), atunci când măriți, vom vedea detalii care au o formă mai simplă decât figura originală în sine. De exemplu, la o mărire suficient de mare, o parte a unei elipse arată ca un segment de linie dreaptă. Acest lucru nu se întâmplă cu fractalii: cu orice creștere a acestora, vom vedea din nou aceeași formă complexă, care cu fiecare creștere se va repeta iar și iar.

Benoit Mandelbrot, fondatorul științei fractalilor, în articolul său Fractals and Art for Science a scris: „Fractalii sunt forme geometrice care sunt la fel de complexe în detalii, precum sunt în forma lor generală. Adică, dacă o parte a fractalului va fi mărită la dimensiunea întregului, va arăta ca întregul, sau exact, sau poate cu o ușoară deformare.

Definiție 1. Funcția este numită chiar (ciudat ) dacă împreună cu fiecare valoare a variabilei
sens - X de asemenea aparține
si egalitatea

Astfel, o funcție poate fi pară sau impară numai atunci când domeniul ei de definiție este simetric față de originea pe dreapta reală (numerele XȘi - X aparțin simultan
). De exemplu, funcția
nu este nici par, nici impar, deoarece domeniul său de definiție
nesimetric față de origine.

Funcţie
chiar, pentru că
simetric faţă de originea coordonatelor şi.

Funcţie
ciudat pentru că
Și
.

Funcţie
nu este nici par, nici impar, deoarece deși
și este simetric față de origine, egalitățile (11.1) nu sunt îndeplinite. De exemplu,.

Graficul unei funcții pare este simetric în raport cu axa OU, deoarece dacă punctul

aparține și graficului. Graficul unei funcții impare este simetric față de origine, deoarece dacă
aparține graficului, apoi punctului
aparține și graficului.

Când se demonstrează dacă o funcție este pară sau impară, următoarele afirmații sunt utile.

Teorema 1. a) Suma a două funcții pare (impare) este o funcție pară (impare).

b) Produsul a două funcții pare (impare) este o funcție pară.

c) Produsul unei funcții par și impar este o funcție impară.

d) Dacă f este o funcție uniformă pe platou X, și funcția g definite pe platou
, apoi funcția
- chiar.

e) Dacă f este o funcție ciudată pe platou X, și funcția g definite pe platou
și par (impar), apoi funcția
- chiar ciudat).

Dovada. Să demonstrăm, de exemplu, b) și d).

b) Fie
Și
sunt chiar funcții. Atunci, deci. Cazul funcțiilor impare este considerat în mod similar
Și
.

d) Fie f este o funcție uniformă. Apoi.

Celelalte afirmații ale teoremei sunt dovedite în mod similar. Teorema a fost demonstrată.

Teorema 2. Orice funcție
, definit pe platou X, care este simetric față de origine, poate fi reprezentat ca suma unei funcții par și impare.

Dovada. Funcţie
poate fi scris sub forma

.

Funcţie
este chiar, pentru că
, și funcția
este ciudat pentru că. În acest fel,
, Unde
- chiar și
este o funcție ciudată. Teorema a fost demonstrată.

Definiție 2. Funcția
numit periodic dacă există un număr
, astfel încât pentru orice
numerele
Și
aparțin și domeniului definiției
și egalitățile

Un astfel de număr T numit perioadă funcții
.

Definiția 1 implică faptul că dacă T– perioada de functionare
, apoi numărul T de asemenea este perioada funcției
(pentru că la înlocuire T pe - T se menține egalitatea). Folosind metoda inducţiei matematice se poate demonstra că dacă T– perioada de functionare f, apoi și
, este, de asemenea, o perioadă. Rezultă că, dacă o funcție are o perioadă, atunci are infinit de perioade.

Definiție 3. Cea mai mică dintre perioadele pozitive ale unei funcții se numește ei principal perioadă.

Teorema 3. Dacă T este perioada principală a funcției f, atunci perioadele rămase sunt multipli ale acestuia.

Dovada. Să presupunem contrariul, adică că există o perioadă funcții f (>0), nu multiplu T. Apoi, împărțirea pe T cu restul, obținem
, Unde
. De aceea

adică – perioada de functionare f, și
, ceea ce contrazice faptul că T este perioada principală a funcției f. Din contradicția obținută decurge afirmația teoremei. Teorema a fost demonstrată.

Este bine cunoscut faptul că funcțiile trigonometrice sunt periodice. Perioada principală
Și
egală
,
Și
. Aflați perioada funcției
. Lasa
este perioada acestei funcții. Apoi

(deoarece
.

ororor
.

Sens T, determinată din prima egalitate, nu poate fi o perioadă, deoarece depinde de X, adică este o functie a X, nu un număr constant. Perioada se determină din a doua egalitate:
. Sunt infinite de perioade
cea mai mică perioadă pozitivă se obţine când
:
. Aceasta este perioada principală a funcției
.

Un exemplu de funcție periodică mai complexă este funcția Dirichlet

Rețineți că dacă T atunci este un număr rațional
Și
sunt numere raționale sub rațional Xși irațional când este irațional X. De aceea

pentru orice număr rațional T. Prin urmare, orice număr rațional T este perioada funcției Dirichlet. Este clar că această funcție nu are perioadă principală, deoarece există numere raționale pozitive în mod arbitrar apropiate de zero (de exemplu, un număr rațional poate fi făcut prin alegerea nîn mod arbitrar aproape de zero).

Teorema 4. Dacă funcţia f pus pe platou X si are o perioada T, și funcția g pus pe platou
, apoi funcția complexă
are si punct T.

Dovada. Avem prin urmare

adică se demonstrează afirmaţia teoremei.

De exemplu, din moment ce cos X are punct
, apoi funcțiile
au o perioadă
.

Definiție 4. Se numesc funcţiile care nu sunt periodice neperiodică .

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizarea slide-ului are doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte întreaga amploare a prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Obiective:

• să formeze conceptul de funcții pare și impare, să învețe capacitatea de a determina și de a utiliza aceste proprietăți în studiul funcțiilor, trasând grafice;
• să dezvolte activitatea creativă a elevilor, gândirea logică, capacitatea de a compara, generaliza;
• a cultiva harnicia, cultura matematica; dezvolta abilitati de comunicare .

Echipament: instalare multimedia, tablă interactivă, fișe.

Forme de lucru: frontal şi grup cu elemente de căutare şi activităţi de cercetare.

Surse de informare:

1. Clasa de algebră 9 A.G. Mordkovich. Manual.
2. Algebră Clasa 9 A.G. Mordkovich. Caiet de sarcini.
3. Algebră clasa a 9-a. Sarcini de învățare și dezvoltare a elevilor. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

ÎN CURILE CURĂRILOR

1. Moment organizatoric

Stabilirea scopurilor și obiectivelor lecției.

2. Verificarea temelor

Nr. 10.17 (Cartea cu probleme clasa a IX-a A.G. Mordkovich).

dar) la = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 pentru X ~ 0,4
4. f(X) >0 la X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funcția crește cu X € [– 2; + ∞)
6. Funcția este limitată de jos.
7. la angajare = - 3, la naib nu există
8. Funcția este continuă.

(Ați folosit algoritmul de explorare a caracteristicilor?) Slide.

2. Să verificăm tabelul care a fost întrebat pe diapozitiv.

Umple tabelul
	Domeniu	Zerourile funcției	Intervale de constanță		Coordonatele punctelor de intersecție ale graficului cu Oy
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Actualizare de cunoștințe

– Sunt date funcții.
– Specificați domeniul de definiție pentru fiecare funcție.
– Comparați valoarea fiecărei funcții pentru fiecare pereche de valori de argument: 1 și – 1; 2 și - 2.
– Pentru care dintre funcțiile date în domeniul definiției sunt egalitățile f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (pune datele în tabel) Slide

		f(1) și f(– 1)	f(2) și f(– 2)	grafice	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		și nedefinită.

4. Material nou

- În timp ce facem această muncă, băieți, am dezvăluit încă o proprietate a funcției, necunoscută pentru dvs., dar nu mai puțin importantă decât celelalte - aceasta este uniformitatea și ciudatenia funcției. Scrieți subiectul lecției: „Funcții pare și impare”, sarcina noastră este să învățăm cum să determinăm funcțiile pare și impare, să aflăm semnificația acestei proprietăți în studiul funcțiilor și a graficului.
Deci, să găsim definițiile în manual și să citim (p. 110) . Slide

Def. unu Funcţie la = f (X) definită pe mulțimea X este numită chiar, dacă pentru orice valoare XЄ X în curs egalitatea f (–x) = f (x). Dă exemple.

Def. 2 Funcţie y = f(x), definit pe setul X este numit ciudat, dacă pentru orice valoare XЄ X egalitatea f(–х)= –f(х) este satisfăcută. Dă exemple.

Unde am întâlnit termenii „par” și „impar”?
Care dintre aceste funcții vor fi egale, crezi? De ce? Care sunt ciudate? De ce?
Pentru orice functie a formei la= x n, Unde n este un întreg, se poate argumenta că funcția este impară pentru n este impar și funcția este pară pentru n- chiar.
– Vizualizați funcțiile la= și la = 2X– 3 nu este nici par, nici impar, pentru că egalitățile nu sunt îndeplinite f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Studiul întrebării dacă o funcție este pară sau impară se numește studiul unei funcții pentru paritate. Slide

Definițiile 1 și 2 s-au ocupat de valorile funcției la x și - x, astfel încât se presupune că funcția este definită și la valoarea X, și la - X.

AOD 3. Dacă o mulțime de numere împreună cu fiecare dintre elementele sale x conține elementul opus x, atunci mulțimea X se numeste multime simetrica.

Exemple:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) sunt mulțimi simetrice, iar , [–5;4] sunt nesimetrice.

- Chiar și funcțiile au un domeniu de definiție - o mulțime simetrică? Cele ciudate?
- Dacă D( f) este o mulțime asimetrică, atunci care este funcția?
– Astfel, dacă funcția la = f(X) este par sau impar, atunci domeniul său de definiție este D( f) este o mulțime simetrică. Dar este adevărată afirmația inversă, dacă domeniul unei funcții este o mulțime simetrică, atunci este par sau impar?
- Deci prezența unei mulțimi simetrice a domeniului definiției este o condiție necesară, dar nu suficientă.
– Deci, cum putem investiga funcția pentru paritate? Să încercăm să scriem un algoritm.

Slide

Algoritm pentru examinarea unei funcții pentru paritate

1. Stabiliți dacă domeniul funcției este simetric. Dacă nu, atunci funcția nu este nici pară, nici impară. Dacă da, mergeți la pasul 2 al algoritmului.

2. Scrie o expresie pentru f(–X).

3. Comparați f(–X).Și f(X):

• dacă f(–X).= f(X), atunci funcția este pară;
• dacă f(–X).= – f(X), atunci funcția este impară;
• dacă f(–X) ≠ f(X) Și f(–X) ≠ –f(X), atunci funcția nu este nici pară, nici impară.

Exemple:

Investigați funcția pentru paritate a) la= x 5 +; b) la= ; în) la= .

Soluţie.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), mulţime simetrică.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funcție h(x)= x 5 + impar.

b) y =,

la = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), mulțime asimetrică, deci funcția nu este nici pară, nici impară.

în) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Opțiunea 2

1. Mulțimea dată este simetrică: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

dar); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Examinați funcția pentru paritate:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. În fig. complotată la = f(X), pentru toți X, îndeplinind condiția X? 0.
Trasează funcția la = f(X), dacă la = f(X) este o funcție uniformă.

3. În fig. complotată la = f(X), pentru toate x care satisface x? 0.
Trasează funcția la = f(X), dacă la = f(X) este o funcție impară.

Verificare reciprocă diapozitiv.

6. Tema pentru acasă: №11.11, 11.21,11.22;

Dovada semnificației geometrice a proprietății de paritate.

*** (Atribuirea opțiunii USE).

1. Funcția impară y \u003d f (x) este definită pe întreaga linie reală. Pentru orice valoare nenegativă a variabilei x, valoarea acestei funcții coincide cu valoarea funcției g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Aflați valoarea funcției h( X) = la X = 3.

7. Rezumând

Care, într-o măsură sau alta, vă erau familiare. De asemenea, s-a remarcat acolo că stocul de proprietăți funcționale va fi completat treptat. Două proprietăți noi vor fi discutate în această secțiune.

Definiția 1.

Funcția y \u003d f (x), x є X, este numită chiar dacă pentru orice valoare x din mulțimea X egalitatea f (-x) \u003d f (x) este adevărată.

Definiția 2.

Funcția y \u003d f (x), x є X, se numește impară dacă pentru orice valoare x din mulțimea X egalitatea f (-x) \u003d -f (x) este adevărată.

Demonstrați că y = x 4 este o funcție pară.

Soluţie. Avem: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. Dar (-x) 4 = x 4 . Prin urmare, pentru orice x, egalitatea f (-x) = f (x), i.e. funcția este egală.

În mod similar, se poate demonstra că funcțiile y - x 2, y = x 6, y - x 8 sunt pare.

Demonstrați că y = x 3 este o funcție impară.

Soluţie. Avem: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. Dar (-x) 3 = -x 3 . Prin urmare, pentru orice x, egalitatea f (-x) \u003d -f (x), adică. functia este impara.

În mod similar, se poate dovedi că funcțiile y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 sunt impare.

Tu și cu mine ne-am convins în mod repetat că termenii noi din matematică au cel mai adesea o origine „pământească”, adică. ele pot fi explicate într-un fel. Acesta este cazul atât pentru funcțiile pare, cât și pentru cele impare. Vezi: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 sunt funcții impare, în timp ce y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 sunt funcții pare. Și, în general, pentru orice funcție de forma y \u003d x "(mai jos vom studia în mod specific aceste funcții), unde n este un număr natural, putem concluziona: dacă n este un număr impar, atunci funcția y \u003d x " este ciudat; dacă n este un număr par, atunci funcția y = xn este pară.

Există și funcții care nu sunt nici pare, nici impare. Astfel, de exemplu, este funcția y \u003d 2x + 3. Într-adevăr, f (1) \u003d 5 și f (-1) \u003d 1. După cum puteți vedea, aici, prin urmare, nici identitatea f (-x ) \u003d f ( x), nici identitatea f(-x) = -f(x).

Deci, o funcție poate fi pară, impară sau nici una.

Studiul întrebării dacă o funcție dată este pară sau impară se numește de obicei studiul funcției pentru paritate.

Definițiile 1 și 2 se referă la valorile funcției în punctele x și -x. Aceasta presupune că funcția este definită atât în ​​punctul x, cât și în punctul -x. Aceasta înseamnă că punctul -x aparține domeniului funcției în același timp cu punctul x. Dacă o mulțime numerică X împreună cu fiecare dintre elementele sale x conține elementul opus -x, atunci X se numește mulțime simetrică. Să presupunem (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) sunt mulțimi simetrice, în timp ce )